Задачи весеннего тренировочного тура XXI "Турнира городов"

(по материалам сообщения С.И.Соболева sobolev@karelia.ru в конференции relcom.education).
 

Тренировочный вариант предлагался 27.02.2000 г. 
После задачи в скобках указано число очков за нее.

8-9 класс.

1. Может ли произведение двух последовательных целых положительных чисел равняться произведению 
двух соседних положительных четных чисел? (3)

2. В трапеции ABCD площади 1 основания BC и AD относятся как 1:2. Пусть K - середина диагонали AC.  
Прямая DK пересекает сторону AB в точке L. Найдите площадь четырехугольника BCKL. (4)

3. а) Докажите, что вершины 3n-угольной призмы можно раскрасить тремя красками так, 
чтобы каждая вершина  была связана ребрами с вершинами всех трех цветов. (3) 
    б) Докажите, что если вершины n-угольной призмы  можно раскрасить тремя красками так, 
чтобы каждая  вершина была связана ребрами с вершинами всех трех цветов, то n делится нацело на 3. 
(Напоминание: основания n-угольной призмы - равные n-угольники.) (3)

4. Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, 
связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было? (5)

10-11 класс.

1. Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника. Оказалось, что сумма площадей двух протиповоложных (имеющих  только общую вершину) треугольников равна сумме площадей двух других  треугольников. 
Докажите, что одна из диагоналей делится другой диагональю пополам. (3)

2. На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, 
на двух других противоположных - по две точки, и на двух оставшихся - по три точки. 
Из восьми таких кубиков сложили куб 2*2*2, и посчитали суммарное число точек на каждой из его шести граней. 
Могли ли получиться 6 последовательных чисел? (4)

3. Докажите неравенство: 1k + 2k + ... + nk <= (n2k - (n - 1)k)/(nk - (n - 1)k
при любых целых положительных n и k. (4)

4. Существует ли бесконечная последовательность, состоящая из 
    а) действительных (3), 
    б) целых чисел, такая, что сумма любых десяти подряд идущих чисел положительна, 
а сумма любых первых подряд идущих 10n+1 чисел отрицательна? (3)

 
  
 
vlad@ssl.nsu.ru