Задачи весеннего основного тура XXI "Турнира городов" 
 

Вариант предлагался 5.03.2000 г.  
После задачи в скобках указано число очков за нее. 

8-9 класс. 

1. Найдите все действительные корни уравнения: 
(x+1)21 + (x+1)20(x-1) + (x+1)19(x-1)2 + ... + (x-1)21 = 0. (3)

2. Длины оснований трапеции - целые числа. Докажите, что ее можно разбить на равные треугольники. (3)

3. Дана окружность и точка A внутри нее. Найдите геометрическое место вершин C 
всевозможных прямоугольников ABCD, где B и D - точки окружности. (6)

4. Разбойники Хапок и Глазок делят кучу из 100  монет. Хапок захватывает из кучи пригоршню монет, 
а Глазок, глядя на пригоршню, решает, кому из двоих она достается. Так продолжается, пока кто-то из них 
не получит 9 пригоршней, после чего другой забирает все  оставшиеся монеты (дележ может закончиться и тем, 
что монеты будут разделены прежде, чем кто-то получит 9 пригоршней). Хапок может захватить 
в пригоршню сколько угодно монет. Какое наибольшее число монет он может гарантировать себе 
независимо от действий Глазка? (Укажите это число, покажите, как Хапок может его себе гарантировать, 
и докажите, что большего он  гарантировать не может). (7)

5. Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске 5*5 так, 
чтобы каждый из них бил ровно двух других? (Укажите расстановку и докажите, 
что нельзя расставить большее число коней с выполнением условия задачи). (7)

6. В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым один раз. 
За выигрыш присуждается одно очко, за ничью - пол-очка, за проигрыш - ноль. Назовем партию неправильной, 
если выигравший ее шахматист в итоге набрал очков меньше, чем проигравший. 
Докажите, что неправильные партии составляют меньше 3/4 общего числа партий в турнире. (10)
 

10-11 класс. 

1. Натуральные числа m и n взаимно просты (не имеют общего делителя, отличного от единицы). 
Дробь (m + 2000n)/(n +2000m) можно сократить на число d. 
Каково наибольшее возможное значение d? (3)

2. Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в 5 точке K. 
M и N - центры окружностей, описанных около треугольников AKB и CKD. Докажите, что OM = KN. (5)

3. В колоде часть карт лежит рубашкой вниз. Время от времени Петя вынимает из колоды пачку 
из одной или нескольких подряд идущих карт, в которой верхняя и нижняя карты лежат рубашкой вниз, 
переворачивает всю пачку как одно целое и вставляет в то же место колоды. 
Докажите, что, в конце концов, все карты лягут рубашкой вверх. 
(Примечание: если "пачка" состоит лишь из одной карты, то требуется только, чтобы она лежала рубашкой вниз). (5)

4. На плоскости, разграфленной сеткой вертикальных и горизонтальных прямых на квадратные клетки, 
нарисован выпуклый многоугольник так, что все его вершины находятся в вершинах клеток, 
и ни одна из его сторон не вертикальна и не горизонтальна. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков 
сетки внутри многоугольника равна сумме длин горизонтальных отрезков сетки  внутри многоугольника. (5)

5. Найдите максимальное число N, для которого существуют такие N последовательных целых 
положительных чисел, что сумма цифр первого числа делится нацело на 1, сумма цифр второго числа - на двойку, 
сумма цифр третьего числа - на тройку, и т.д., сумма цифр N-го числа делится нацело на N. (7)

6. В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым один раз. 
За выигрыш присуждается одно очко, за ничью - пол-очка, за проигрыш - ноль. 
Назовем партию неправильной, если выигравший ее шахматист в итоге набрал очков меньше, чем проигравший.
    а) Докажите, что неправильные партии составляют меньше 3/4 общего числа партий в турнире. (6)
    б) Докажите, что в пункте а) число 3/4 нельзя заменить на меньшее. (6)
 

 
  
 
vlad@ssl.nsu.ru