Физика в вопросах и ответах

ВОПРОС: Действует ли закон Всемирного тяготения в том виде, в котором мы его применяем, для масс, сравнимых с общей массой Вселенной? Ведь если F = GMm/R2, где F - сила гравитационного взаимодействия; M и m - массы взаимодействующих тел, а R - расстояние между ними, то если представить себе, что вся Вселенная, кроме одной ОЧЕНЬ незначительной ее части, "стянулась" в своеобразный шар, сила взаимодействия между ними должна быть чудовищной! Но если посмотреть на дело с другой стороны, картина окажется противоположной. Различные силы природы (сила трения, сила упругости и др.) стремятся "вернуть все как было", а еще стремятся к нулю. Таким образом, возвращаясь к приведенному случаю, рассмотрим его опять. У нас была Вселенная, от нее "оторвали" незначительную часть (примем ее за материальную точку), и сила, возникающая при этом, должна быть соразмерной, т. е. НЕЗНАЧИТЕЛЬНОЙ!

ОТВЕТ: Закон Всемирного тяготения в форме F = GMm / R2 справедлив лишь в сравнительно слабых полях тяготения и описывает взаимодействие между точеными массами. Им также можно пользоваться, если взаимодействующие тела являются шарами или сферами с однородно распределенными массами (тогда расстояние R берется между центрами шаров или сфер). Правда, вышесказанное справедливо, если взаимодействующие тела не находятся одно внутри другого.

Можно доказать, что сила гравитационного взаимодействия сферы (с однородно распределенной массой) с телом, находящимся внутри сферы, равна нулю. Для этого сравним силы тяготения, которые тянут тело массы m (находящееся в произвольной точке внутри сферы) в противоположные стороны а и b. Направление линии ab, проходящей через m, произвольно. Эти силы создаются веществом, расположенным на участках сферы, вырезанных узкими конусами с одинаковыми углами при вершине.

Площади площадочек, вырезаемых этими узкими конусами, пропорциональны квадратам высот этих конусов. Значит, площадь Sa площадочки a относится к площади Sb площадочки b как квадраты расстояний ra и rb от m до поверхности:

Sa / Sb = ra2 / rb2
Но так как масса считается равномерно распределенной по поверхности сферы, то для масс площадочек получаем то же отношение:
Ma / Mb = ra2 / rb2
Теперь можно вычислить отношение сил, с которыми площадочки притягивают тело. Сами силы записываются согласно закону Ньютона следующим образом:
Fa = GMam / ra2, Fb = GMbm / rb2
Сравнивая эти силы, видно, что Fa = Fb.

Следовательно, силы равны по абсолютной величине, направлены в противоположные стороны и уравновешивают друг друга. То же можно повторить и для любых других направлении. Значит, все противоположно направленные силы уравновешены, и результирующая сила, действующая на m, равна нулю. Точка, в которой расположено тело m, произвольна. Следовательно, внутри сферы действительно нет сил тяготения.

Применение закона Ньютона для вычисления гравитационного поля, создаваемого всем веществом в бесконечной Вселенной, ведет к противоречию, названному гравитационным парадоксом. Суть этого парадокса заключается в следующем. Пусть Вселенная в среднем равномерно заполнена небесными телами, так что средняя плотность вещества в очень больших объемах пространства одинакова. Попытаемся рассчитать по закону Ньютона, какая гравитационная сила, вызванная всем бесконечным веществом Вселенной, действует на тело (например, галактику), помещенное в произвольную точку пространства.

Оказывается, результат расчета неоднозначен, зависит от способа вычисления! Покажем это. Ответ можно получить следующим простым рассуждением. Предположим сначала, что Вселенная пуста. Поместим в произвольную точку пространства пробное тело A. Окружим это тело веществом однородной плотности, заполняющим шар радиуса R, так чтобы тело A было в центре шара. Ясно без всяких расчетов, что в силу симметрии тяготение всех частичек вещества шара в его центре уравновешивает друг друга, и результирующая сила равна нулю, т.е. на тело A не действует никакая сила. Будем теперь добавлять к шару новые и новые сферические слои вещества той же плотности. Мы уже знаем, что сферические слои вещества не создают сил тяготения во внутренней полости, и добавление этих слоев ничего не меняет, т.е. по-прежнему равнодействующая сил тяготения для A равна пулю. Продолжая процесс дополнения слоев, мы приходим в пределе к бесконечной Вселенной, равномерно заполненной материей, в которой результирующая гравитационная сила, действующая на A, равна нулю.

Однако рассуждения можно проводить и иначе. Возьмем снова однородный шар радиуса R в пустой Вселенной. Поместим наше тело не в центр этого шара с той же плотностью вещества, что и раньше, а на краю его. Теперь сила тяготения, которая действует на тело A, будет равна согласно закону Ньютона F = GMm/R2, где M - масса шара, m - масса пробного тела А. Будем теперь добавлять сферические слои вещества к шару. После того как к этому шару добавлена сферическая оболочка, она не добавит гравитационных сил внутри себя. Следовательно, сила тяготения, действующая па тело A, не изменится и по-прежнему равна F.
Продолжим процесс добавления сферических оболочек вещества одинаковой плотности. Сила F остается неизменной. В пределе мы снова получаем Вселенную, заполненную однородным веществом с той же плотностью. Однако теперь на тело A действует сила F. Очевидно, в зависимости от выбора первоначального шара, можно получить произвольную силу F после перехода к однородно заполненной веществом Вселенной. Вот эта неоднозначность и получила название гравитационного парадокса.

Видно, что теория Ньютона не дает возможности без добавочных предположений однозначно рассчитать гравитационные силы в бесконечной Вселенной. В связи с этим разберем, почему вообще возникает необходимость обобщения закона Ньютона.

Теория Ньютона предполагает мгновенное распространение тяготения и уже поэтому не может быть согласована со специальной теорией относительности, утверждающей, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Понятно, что теорию тяготения Ньютона нельзя применять всякий раз, когда гравитационные поля настолько сильны, что разгоняют движущиеся в них тела до скорости, близкой к скорости света в вакууме c (также эта теория не применима к расчету движения частиц со скоростью близкой к c, в частности - для расчета траектории света в поле тяготения).

Покажем, что в космологии мы встречаемся с такой ситуацией, когда поля тяготения настолько сильны, что должны разгонять падающие в них тела до световых скоростей. Рассмотрим снова однородный шар произвольного радиуса R с плотностью вещества r, находящийся в пустоте. Если мы будем увеличивать размер рассматриваемого шара, не меняя плотности вещества, то, очевидно, масса шара возрастает пропорционально кубу радиуса. В то же время гравитационная сила на поверхности шара обратно пропорциональна квадрату радиуса. Произведение обоих факторов дает в результате увеличение силы тяжести пропорционально первой степени радиуса. Значит, переходя от шара к бесконечной Вселенной, мы рано или поздно получим гравитационное поле на поверхности шара настолько большим, что теория Ньютона становится неприменимой.

Получим оценку расстояния в нашей Вселенной, на котором уже неприменима теория Ньютона. Скорость, которую приобретает любое тело, свободно падающее из состояния покоя с большого расстояния на поверхность гравитирующего шара, совпадает, очевидно, со скоростью, которую должно иметь тело, чтобы улететь с поверхности шара в бесконечность, т.е. совпадает со второй космической скоростью:

v = (2GM / R)1/2
Скорость падения, равная скорости света, достигается, следовательно, если масса шара достаточно велика по сравнению с радиусом. Подставляя вместо v скорость света c, находим, что критический радиус шара массы М должен равняться
Rкр = 2GM / c2
Этот радиус в общей теории относительности носит название гравитационного радиуса. Теперь, подставляя вместо М выражение массы через плотность и объем, М = 4prR3/3, находим:
Rкр = (3c2 / 8prG)1/2
Средняя плотность вещества во Вселенной r известна из наблюдений, хотя и не точно. Для оценки можно принять r ~ 10-30 г/см3. Тогда Rкр ~ 4.1026 м ~1010 парсеков, что соответствует наблюдаемому размеру Вселенной.

Только общая теория относительности позволяет однозначно рассчитать силы тяготения. Для того, чтобы понять причину отсутствия без гравитационного парадокса, необходимо сравнить подходы к проблеме в обеих теориях.

Теория Ньютона вычисляет сначала силу тяготения в абсолютном ньютоновском пространстве, а потом уже находит движение галактик в этом поле сил. Силы являются векторами. В каждой точке пространства они куда-то направлены. Но в однородной изотропной Вселенной все направления одинаковы, а сила выделяет некое преимущественное направление в каждой точке. Уже здесь сказывается внутреннее противоречие в ньютоновском решении космологической проблемы.

В теории Эйнштейна нет абсолютного пространства, и никаких абсолютных сил тяготения она не вычисляет. Уравнения тяготения Эйнштейна сразу определяют относительные ускорения и относительные скорости галактик и геометрию пространства, т.е. те величины, которые в принципе можно измерять и наблюдать. Условие однородности и изотропии позволяют решить уравнения Эйнштейна без парадоксов именно по этой причине. Заметим, что и в теории Ньютона, если потребовать, чтобы в решении космологической задачи относительные ускорения не зависели от места и направления, а только от расстояния между галактиками, то для этих величин никакого парадокса не возникает. Все неопределенности появляются только для абсолютных сил тяготения в абсолютном пространстве. Но ведь абсолютные силы тяготения - это ненаблюдаемая фикция. Когда тела движутся свободно, по геодезическим, то они находятся в состоянии невесомости. Никаких сил для них нет. Силы тяготения начинают проявляться тогда, когда что-то мешает телу двигаться по геодезическим. Но эта сила зависит от конкретного препятствия (в математическом аппарате теории - от системы отсчета, связанной с препятствием). Так, на Земле свободно падать нам мешает поверхность Земли, и это определяет силу, Но в набирающей скорость ракете сила, прижимающая пилота к сидению, будет совсем другая. В общей теории относительности обычно силу тяготения называют, кстати, не просто гравитационной, а гравитационно-инерционной, подчеркивая, что она зависит и от выбора системы отсчета.

Но в космологии в однородной Вселенной никакая точка не выделена, галактики движутся без препятствий, свободно (в том же смысле, как спутник в поле тяготения Земли). Не проявляются гравитационно-инерционные силы тяготения в системе, связанной с галактиками. В этой системе их объективно нет. Единственной наблюдаемой величиной в космологии являются относительные скорости и относительные ускорения галактик Теория Эйнштейна прямо определяет эти величины без парадокса.
Отметим, что выше рассматривалось общее усредненное поле тяготения совокупности всех галактик Вселенной, за исключением тяготения тел или систем, случайно находящихся вблизи наблюдателя. Разумеется, тяготение этих последних тел (например, близкой галактики или скопления галактик) проявляется в рассматриваемой системе, но при обсуждении гравитационного парадокса не оно нас интересует, а суммарное поле всех галактик Вселенной.

Подытожим сказанное. В сравнительно малых участках пространства, меньше примерно десяти миллиардов парсек, можно пользоваться ньютоновской теорией для решения космологических задач. В частности, эта теория помогает понять, почему Вселенная нестационарна. В масштабах, сравнимых с критическим и больше, и тем более для анализа структуры Вселенной в целом, необходима релятивистская теория тяготения. Согласно этой теории сферически-симметричное распределение материи (конечное или бесконечное - неважно) не создает никакого гравитационного поля внутри сферической полости. Это утверждение теории Эйнштейна строго и получается, в отличие от теории Ньютона, однозначно. После этого можно рассматривать шар, как раз заполняющий полость, с плотностью вещества, равной плотности внешнего вещества. Для этого шара, если он достаточно мал и его поле тяготения не велико, можно применять теорию Ньютона.

В конце вопроса гравитационные силы сравниваются с силами трения и упругости. Это не совсем корректно - силы трения и упругости при уменьшении расстояния между телами не стремятся к нулю: по достижении некоторого расстояния одни электромагнитные силы (силы притяжения) компенсируются другими (силами отталкивания). В теории тяготения сил отталкивания нет.

Кстати, тела сближаются, потому что система стремится перейти в состояние с наименьшей потенциальной (в нашем случае) энергией. При этом сила упругости может из "силы притяжения" перейти в "силу отталкивания" (например, при колебании грузика на пружинке). Т.е. не сила стремится к нулю, а потенциальная энергия стремится к минимуму. Однако, поскольку полная энергия сохраняется, то кинетическая энергия грузика на пружинке "не дает" остаться ему в таком состоянии, и грузик постоянно колеблется. Колебания прекращаются тоже не из-за того, что сила стала равной нулю, а из-за того, что кинетическая энергия грузика на пружинке из-за силы трения перешла в тепло.

Источники:

И.Д.Новиков "Как взорвалась Вселенная", Библиотечка "Квант", выпуск 68, М., Наука, 1988, стр.13-15,
И.Д.Новиков "Эволюция Вселенной", М., Наука, 1990, стр.65-71, 90-92.

[ Предыдущий вопрос    Оглавление     Следующий вопрос

vlad@ssl.nsu.ru