Физика в вопросах и ответах

ВОПРОС: Прокомментируйте планы подъема подводной лодки "Курск" на http://www.ntv.ru/russia/15May2001/risekiursk.html

ОТВЕТ: Вначале приведем текст заметки http://www.ntv.ru/russia/15May2001/risekiursk.html:

"По компьютерной анимационной картинке можно представить, как будут поднимать "Курск". Баржа, плавучий кран и 40 стальных тросов, каждый диаметром 25 сантиметров. Тросы с помощью специальных узлов крепятся к корпусу лодки, и кран поднимает "Курск" к днищу баржи, после чего лодка транспортируется в один из доков Североморска. Внешне кажется все просто и понятно, как математическая задачка в средней школе. Нужно только знать основные параметры: массу, грузоподъемность и запас прочности узлов крепления..."

Действительно ли задачка так проста? Достаточно ли знания вышеперечисленных параметров для ее решения? Рассмотрим для начала еще более простую задачку.

Задача 1

Абсолютно жесткий стержень, вес которого P, а длина L подвешен на двух нерастяжимых нитях. Центр тяжести стержня находится на расстоянии l от его левого конца, как показано на рис. 1. Найти натяжения нитей.


Для решения задачи достаточно записать условия равновесия стержня - равенство нулю суммы сил, действующих на стержень и их моментов, например, относительно левого конца стержня.

T1 + T2 = P,
T2L = Pl.

Откуда

T1 = P(L - l)/L, T2 = Pl/L.

Усложним задачу, введя еще одну нерастяжимую нить. Предположим для простоты, что она прикреплена к центру тяжести стержня.

Задача 2

Абсолютно жесткий стержень, вес которого P, а длина L подвешен на трех нерастяжимых нитях, как показано на рис 2. Найти натяжения нитей.


Для решения задачи необходимо записать три уравнения, определяющие три неизвестных натяжения. Дополнительное уравнение, казалось бы, можно получить, записав условие равенства нулю момента сил относительно какой-нибудь другой оси:

T1 + T2 + T3 = P,
T2L = (P - T3)l,
T2(L - l) = T1l.

Однако видно, что 3-е уравнение системы является следствием первых 2-ух уравнений, т.е. система не определена. Так и должно было случиться. Действительно, пусть M = S[riFi] - момент силы относительно левого конца стержня (здесь суммирование идет по всем точкам приложения сил Fi, ri - радиус-вектор точки приложения силы). Момент силы относительно другой оси, получающейся параллельным переносом на вектор a, равен

S[(ri - a)Fi] = S[riFi] - S[aFi] = M - [aSFi].

Видно, что M' отличается от M на величину, обращающуюся в нуль, если сумма сил, действующих на стержень SFi равна нулю.

Другими словами, условий равновесия для решения задачи о стержне, подвешенном на трех и более нитях не достаточно. Задача 2 поставлена некорректно. Для правильной постановки задачи необходимо вспомнить, что абсолютно жестких стержней и нерастяжимых нитей не бывает. Будем считать, тем не менее, стержень абсолютно жестким, а нити деформируемыми. Задачу можно сформулировать следующим образом.

Задача 3

Абсолютно жесткий стержень, вес которого P, а длина L подвешен на трех нитях, коэффициенты упругости которых k1, k2 и k3 как показано на рис 3. Найти натяжения нитей.


Знание коэффициентов упругости позволяет связать натяжения с соответствующими деформациями x1, x2 и x3. Последние связаны между собой по линейному закону, т.к. стержень прямой и абсолютно жесткий:

x3 = x1(L - l)/L + x2l/L.

Это позволяет связать натяжение средней нити с натяжениями двух крайних и определить последние из условий равновесия стержня. Имеем:

T1 + T2 + T3 = P,
T2L = (P - T3)l,
T3/k3 = T1(L - l)/k1L + T2l/k2L.

Откуда

T1 = Pk1k2L(L - l)/z,
T2 = Pk1k2Ll/z,
T3 = Pk3[k2(L - l)2 + k1l2]/z,

где z = k1k2L2 + k1k3l2 + k2k3(L - l)2.

Важно, что в полученном ответе непросто провести предельный переход k1, k2 и k3 к бесконечности, соответствующий бесконечной жесткости нитей. Дело в том, что его результат зависит от последовательности, по которой коэффициенты ki упругости стремятся к бесконечности.

Рассмотрим, например, два случая.

(а) Сначала увеличиваются жесткости нитей 1 и 2, а затем нити 3. Тогда

limT1 = P(L - l)/L,
limT2 = Pl/L,
limT3 = 0.

(б) Cначала увеличиваются жесткости нитей 2 и 3, затем нити 1. Тогда

limT1 = 0,
limT2 = 0,
limT3 = P.

Нетрудно понять физическую причину различия (a) и (b). В случае (a) увеличение жесткости нитей 1 и 2 делает деформацию нити 3 равной нулю. Нить 3 провисает, и задача сводится к задаче 1. В случае (b) по той же причине провисает нить 1. При этом натяжение нити 2 равно нулю, так как стержень подвешен за центр тяжести.

Вышеприведенный анализ нетрудно распространить на случай произвольного числа нитей. Ясно, что, предполагая нити нерастяжимыми, можно добиться горизонтального расположения стержня. При этом возможна любая комбинация из натяжений нитей, удовлетворяющая условиям равновесия. Более того, всякую такую комбинацию легко изменить, потянув за одну из нитей.

Вернемся теперь к вопросу о подъеме лежащей на дне моря подводной лодки при помощи системы тросов. Предположим, что в начальный момент времени лодка горизонтальна, а натяжения тросов равны 1/40 веса лодки. Как изменятся натяжения в результате действия на нити случайных сил, связанных с колебаниями точек подвеса, вследствие волнения на поверхности моря? Ответ зависит от соотношения между характерной деформацией тросов и амплитуды колебаний точек подвеса. Если амплитуда этих колебаний существенно меньше деформации тросов, то колебания точек подвеса приведут лишь к незначительному перераспределению напряжений между тросами. Однако если амплитуда колебаний точек подвеса превышает характерную деформацию тросов, то тросы можно рассматривать как нерастяжимые. Это приводит к ситуации, рассмотренной в задаче 3. Весь вес лодки окажется распределенным между некоторыми двумя тросами, положение которых будет случайно изменяться вследствие колебаний точек подвеса. Выдержат ли тросы такое напряжение? Предел прочности стали порядка 100 кГ/мм2. Это означает, что один трос диаметром 25 см способен выдержать не более 5000 тонн, тогда как вес лодки 12000 тонн.

Мы рассматривали лишь статическую задачу, предполагая колебания точек подвеса медленными. Учет рывков приведет к еще большей нагрузке на тросы. Одна из причин таких рывков связана с давлением на лодку, лежащую на дне, со стороны столба воды в момент ее отрыва от дна. Эта сила равна rgHS, где r - плотность воды, H - глубина, а S - площадь соприкосновения лодки с дном. Эта величина может превосходить вес лодки и зависит от ее положения в момент отрыва.

Хочется верить, что рассмотренные нами соображения были приняты в расчет при разработке плана подъема лодки.

Л.С.Брагинский



[ Предыдущий вопрос     Оглавление     Следующий вопрос ]


vlad@ssl.nsu.ru