Тамэси-вари
 
А.Бирюков
 
(статья из журнала "Квант" N5, 1998)
 
 
ТАМЭСИ-ВАРИ - проверка психологической подготовки и техники удара в каратэ различных предметов. Известно, что каратэ пришло к нам с Окинавы, крупнейшего острова Японии. Наибольшее развитие каратэ получило в XVI - XVII веках, когда власти, опасаясь восстаний, изъяли у населения все оружие, включая кухонные ножи и церемониальные мечи. Конечно, сопротивляться хорошо вооруженной армии самураев голыми руками крестьянам было не под силу, но, зная приемы каратэ, они могли дать отпор нескольким оголтелым насильникам. Видимо, отсюда и берет начало практика тамэси-вари, которая всегда интересна для зрителей и производит на непосвященных впечатление некоторого чуда. В наше время на показательных выступлениях и соревнованиях по каратэ в тамэси-вари чаще всего используются доски определенных размеров из деревьев хвойных пород. 

В статье рассматривается простая физическая модель удара по доске, которая позволяет сделать некоторые оценки и дать рекомендации, а также оценить возможности человека в тамэси-вари. Определение ряда параметров этой модели требует решения нескольких самостоятельных задач, которые могут быть интересны читателю и сами по себе. Чтобы не загромождать изложение, задачи вынесены в Приложения в конце статьи. 

Пусть по центру лежащей на двух опорах доски с размерами d, l и h (рис. 1) наносят удар кулаком массой m со скоростью v в момент контакта. Волокна доски направлены параллельно опорам, расстояние между которыми для оценки также будем полагать равным длине доски l. Из "секретов" каратэ известно, что для увеличения эффективности удара надо к уже разогнанному перед ударом кулаку в течение времени его взаимодействия с доской прикладывать еще и силу, которую  обозначим через F. Введем систему координат, как показано на рис. 2. Обозначим через xo смещение центра доски из положения равновесия. Пусть разлом доски, т.е. разрыв ее внешней поверхности, происходит при некотором значении xo = xp. Такой разрыв происходит, когда напряжение s (сила, действующая на единицу площади сечения доски) на поверхности доски достигает определенного значения ррр, характеризующего материал. 

Найдем вначале связь между xp и рр, которая, очевидно, определяется упругими свойствами и геометрическими размерами доски. Максимальный изгиб и, следовательно, максимальное напряжение на поверхности доски будет в ее середине. Как показано в Приложении 1, это напряжение равно 

s = Eh/(2R),
где R - радиус кривизны центральной линии СС в середине доски (см. рис. 2), а Е - модуль Юнга материала доски. 

Зададим теперь форму доски при изгибе, учитывая, что края доски закреплены в точках у = +-l/2, а максимальное смещение из положения равновесия имеет ее центр. Отметим, что точная форма доски зависит от конкретных (не очень ясных) условий контакта ударной поверхности кулака с доской (при правильном ударе - это суставы указательного и среднего пальцев). Поэтому для расчетов можно ограничиться удобной формулой, основанной на практическом опыте и позволяющей провести простые оценки.  Будем считать форму доски при изгибе косинусоидой, закрепленной в точках у = +-l/2. В этом случае смещение х какой-либо точки центральной линии зависит от ее координаты у по закону 

x(y) = x0cos(py/l).
В Приложении 2 показано, что при этом радиус кривизны в центре доски будет равен 
R = (l/p)2/xo
Подставив полученное выражение для радиуса кривизны в выражение для s, найдем напряжение в середине доски на ее поверхности при смещении центра доски на величину x0
s = x0Ehp2/(2l2).
Отсюда видно, что разлом (sр = s) происходит при смещении центра доски на величину 
xp = 2sрl2/(p2Eh).
Смоделируем далее упругие свойства доски относительно приложенной внешней силы пружиной жесткостью k. Этот коэффициент найден в Приложении 3 и имеет величину 
k = p2Eh3d/(3l3).
После определения необходимых параметров вернемся к сформулированной раньше динамической задаче об ударе по доске и запишем уравнение движения кулака в виде второго закона Ньютона: 
mx'' = -kx + F,
где х теперь - смещение кулака от исходной поверхности контакта с доской, а штрихи обозначают производные по времени. Для оценки будем полагать, что приложенная человеком к кулаку сила F постоянна во времени. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что общее решение уравнения движения имеет вид 
x = Acoswt + bsinwt + F/k
и содержит две произвольные константы А и В. Для их определения зададим условия в начальный момент времени t = 0: x = 0 и x' = v. Тогда получим 
x = f(1 - coswt)/w2 + vsinwt/w,
где f = F/m - величина, имеющая размерность ускорения, и w = (k/m)1/2 - частота собственных колебаний кулака под действием упругой силы со стороны доски. Найдем теперь максимальное отклонение кулака xmax при заданном значении начальной скорости v и силы F. Приравнивая к нулю производную от х по времени t и затем исключая t, находим 
Для получения условий разлома это отклонение нужно приравнять к отклонению xp, откуда получаем уравнение 
связывающее свойства материала доски и ее геометрические размеры с параметрами, характеризующими удар. 

Решим это уравнение относительно силы F, опять вводя для удобства значения xp и k. В этих обозначениях получим простое выражение 

F = kxp/2 - mv2/(2xp)
- такую силу необходимо приложить в момент контакта к кулаку, движущемуся с начальной скоростью v, чтобы разбить доску. Очевидно, что если скорость кулака достаточно велика, выражение для F получается отрицательным и силу можно не прикладывать. В этом случае начальная скорость должна превышать значение 
v = xpw = (2sр/p)(lhd/3mE)1/2
которое пропорционально квадратному корню из толщины доски h. Наоборот, если начальная скорость v кулака  равна нулю, то из выражения для F следует, что, для того чтобы сломать (продавить) доску, необходимо приложить силу 
F = kxp/2 = h2sрd/(3l),
пропорциональную квадрату толщины h. Значит, с увеличением толщины доски выгоднее увеличивать скорость, а не силу. 

Решим теперь уравнение, определяющее условие разлома доски, относительно h, и получим значение толщины доски, которую можно разбить при заданных параметрах удара: 

Проведем некоторые численные оценки, задав характерные параметры материала доски: Е = 108 H/м2 и  sр = 5.106 Н/м2, взятые из экспериментальных измерений. Стандартные в тамэси-вари ширина и длина доски составляют 20 см и 30 см, однако расчетах будем полагать l = 25 см, поскольку края доски, выступающие за опоры, можно не учитывать. Массу кулака с учетом предплечья можно положить равной 1 кг. 
На рис.3 показана зависимость силы F от начальной скорости v при различных значениях толщины доски h. Если сила и скорость таковы, что соответствующая точка лежит выше кривой для заданного h, то доска ломается. 

Теперь оценим толщину доски, которую может сломать человек. Примем реальную силу одной руки обычного человека равной F = 250 Н. Как видно из рисунка, продавить такой силой (показана пунктиром) даже достаточно тонкую доску толщиной 1,5 см при начальной скорости v = 0 обычному человеку невозможно. Для этого необходимо развить силу около 300 Н. Экспериментальное значение максимальной скорости удара кулаком оценивается как 10м/с. Подставив в выражение для h значения v = 10 м/с и F = 250 Н, находим толщину доски: h = 6 см. Эта величина достаточно большая и доступная, по-видимому, только для тренированных людей, обладающих высокой техникой удара и психологически подготовленных. Однако любопытный читатель может попытаться разбить доску толщиной 2 см, поскольку требуемые значения силы и скорости доступны для среднего человека. При этом важно следовать известному психологическому "секрету" каратэ - не сомневаться в себе. 

Приложение 1. 

Определим напряжение на поверхности доски. Проведем (см. рис. 2) симметричные сечения доски АВ и А'В', нормальные к линии СС и находящиеся на малом расстоянии lo друг от друга вдоль этой линии. Рассмотрим элемент АА'В'В. Ввиду его малости, можно считать, что кривые АА', NN', ВВ' есть дуги окружностей с центрами, лежащими на так называемой оси изгиба О', перпендикулярной к плоскости рисунка. Наружная поверхность доски между точками А и А' при изгибе растянута, а внутренняя поверхность между точками В и В' - сжата. Длины кривых АА' и ВВ' в отсутствие изгиба одинаковы и равны длине lo центральной кривой NN', не меняющей своей длины при изгибе доски. Пусть R - радиус кривизны линии NN', тогда lo= Ra, где a - центральный угол, опирающийся на дугу NN'. Если доска не слишком толстая, т.е. h << R, длина кривой АА' будет l1 = (R + h/2)a, а ее удлинение из-за изгиба составит Dl = l1 - l0 = ha/2. Следовательно, напряжение, действующие вдоль наружной поверхности доски, согласно закону Гука, есть 

 s = EDl/l0 = Eh/(2R).

Приложение 2.

Найдем радиус кривизны поверхности доски в ее середине (у = 0) при изгибе. Заметим, что если R есть радиус кривизны какой-либо кривой в данной точке, то проходящая через эту точку окружность радиусом R, центр которой лежит на нормали к кривой в этой точке, совпадает (по определению радиуса кривизны) с кривой в малой окрестности этой точки. Из формулы для х(у) при |py/l|  << 1 имеем 

 x(y) = x0 - (x0/2)(p/l)2y2
(здесь использована известная приближенная формула cosg = 1 - g2/2 для |g| << 1)

Искомая окружность радиусом R с центром в точке О' (см. рис. 2), проходящая через точку с координатами (хo, 0), о которой говорилось также в Приложении 1, описывается уравнением 

 y2 + (x - x0 + R)2 = R2,
которое легко решить относительно смещения x(y): 
x(y) = x0 - R + R(1 - (y/R)2))1/2.
Пользуясь известной приближенной формулой (1 - g)1/2 = 1 - g/2 при |g| << 1, находим при |y/R|<<1 
x(y) = x0 - y2/R.
Сравнивая два выражения для х(у), получаем значение для радиуса кривизны: 
R = (l/p)2/xo
Приложение 3. 

Определим зависимость величины отклонения xo центра доски, лежащей на двух опорах, от величины приложенной к ней внешней силы F, распределенной вдоль центральных волокон и направленной вниз. Массой доски будем пренебрегать. 

Вследствие предполагаемой симметрии, сила F распределится между опорами поровну. Рассечем мысленно доску на две части, проведя нормальное сечение через центр доски (см. рис. 2), и рассмотрим условие равновесия левой половины доски. Справа на нее будет действовать внешняя сила F/2, сосредоточенная вблизи ее края и направленная вниз. Эта сила компенсируется силой реакции левой опоры. Сумма моментов обеих сил относительно центра доски будет, очевидно, определяться только моментом силы со стороны левой опоры: 

 M = Fl/4.
С другой стороны, этот момент уравновешивается моментом сил растяжения и сжатия, действующих в проведенном нормальном сечении на левую часть доски со стороны правой части. Значение этого момента сил можно получить из формулы для s, модифицировав ее для вычисления напряжения в объеме доски вдоль оси Y. Как следует из вывода этой формулы (см. Приложение 1), для этого достаточно вместо отклонения h/2 от линии NN', соответствующего точке на внешней поверхности доски, ввести расстояние d от этой линии (-h/2 < d < h/2). Тогда для напряжения в объеме доски получим 
s = Ed/R.
Искомый момент упругих сил растяжения и сжатия относительно центра доски будет равен 
Подставив сюда значения радиуса кривизны R и приравняв правые части двух выражений для М, находим связь между силой F и смещением xo
xo = 3Fl3/(p2Eh3d).
Это равенство можно переписать в виде F = kxo, откуда следует искомое выражение для коэффициента жесткости k эквивалентной пружины: 
k = p2Eh3d/(3l3).
 
 
Цитируется по http://www.courier.com.ru/ 
 
 

 
vlad@ssl.nsu.ru