Современная физика в задачах
(факультативный курс)

И. П. Иванов


Часть 1. Строение и свойства твердых тел


Задача 1. Упругие свойства кристалла

Вводная: Давайте начнем с простых оценок, касающихся механических свойств материалов. Почему материалы не выдерживают сверхбольших напряжений, а ломаются, рвутся, текут? Очевидно, потому что межатомные связи не настолько крепки, чтобы сопротивляться достаточно большим внешним силам. Другими словами, у любого материала существует некоторое критическое напряжение, которое он еще выдерживает. Это и есть предел прочности. Давайте оценим его в случае кристаллического твердого тела.

Постановка задачи: зная, что кристалл состоит их атомов, получите ограничение на предел прочности кристалла на растяжение и сдвиг.

Решение: Ключевым утверждением здесь является фраза "все состоит из атомов". В самом деле, если нам известен лишь один этот факт, то мы уже можем вывести очень многое. А необходимые для численных оценок параметры можно взять из атомной физики.

Чему равна типичная сила межатомного взаимодействия? Ее можно оценить из таких простых соображений. Типичная потенциальная энергия межатомного взаимодействия - порядка 1 эВ, т.е. около 10-19 Дж. Конечно, точное значение меняется от одного вещества к другому, но для всех нормальных веществ эта энергия - порядка электрон-вольта. Для того чтобы разорвать межатомную связь, надо разнести атомы на расстояние порядка их собственного размера, то есть порядка 1 ангстрема = 10-10 м. Другими словами, раздвигая атомы на расстояние порядка ангстрема, мы увеличиваем энергию системы на один электрон-вольт, то есть, необходимая для этого сила приблизительно равна 10-19 Дж / 10-10 м = 10-9 Н. Именно такая сила и разорвет типичную межатомную связь.

Хорошо, а какие макроскопические величины можно отсюда получить? Прежде всего, ограничение на такую важную характеристику материала как модуль Юнга. Давайте запишем закон Гука F = kDx, где Dx - удлинение образца. Коэффициент жесткости k зависит как от длины образца x (чем длиннее образец, тем он менее жесткий), так и от его поперечного сечения S (чем оно больше, тем больше и k). Коэффициент пропорциональности и называется модулем Юнга Е: F = ESDx/x.

Размерность модуля Юнга: Н/м2 = Па. Итак, формулы выписаны, нам осталось лишь подставить числа. Поскольку сила в 10-9 Н, как мы знаем, разорвет одну атомную цепочку, а поперечную площадь в 1 м2 пересекает (1 м / 10-10 м)2 = 1020 атомных цепочек, то наша оценка модуля Юнга даст E = 1011 Н/м2 = 0.1 ТПа.

Исходя из этой оценки модуля Юнга, давайте получим максимальное напряжение, которое может выдержать кристалл. Механическое напряжение - это сила, приложенная к единичной поперечной площади: s = F/S = EDx/x.

Как мы знаем из опыта, обычно тела рвутся, когда их относительное удлинение Dx/x достигает величин порядка 10% (эластичные материалы типа резин мы не рассматриваем: они кристаллами заведомо не являются). Значит, предельное значение напряжения - другими словами, прочность кристалла на разрыв - равна sB = 10 ГПа.


Рис. 1-1 Сдвиг атомных плоскостей под действием внешних сил.

Теперь попытаемся получить значение предела прочности кристалла на сдвиг. Для этого надо оценить, какую скользящую силу необходимо приложить к двум атомным плоскостям, чтобы они начали скользить друг относительно друга (Рис.1-1). Очевидно, что поскольку атомные плоскости удерживаются от скольжения благодаря тем же межатомным силам, ответ получится по порядку величины тот же самый: сила в 1010 Н, приложенная к площади 1 м2, сможет вызвать необратимую сдвиговую деформацию кристалла (заставит кристалл течь). Более аккуратный расчет даст в несколько раз меньшую оценку, что и понятно: ведь сдвигать атомные плоскости легче, чем отрывать их одну от другой. Тем не менее, порядок величины будет тот же.

Послесловие: Если читатель владеет дифференциальным исчислением, то он может попытаться получить более строгие ответы в рамках какой-нибудь модели. Например, одна из часто используемых форм межмолекулярного взаимодействия - это так называемый потенциал Леннарда-Джонса (Рис.1-2), который дается формулой

U(r) = U0[(r0/r)12 - 2(r0/r)6],
где r0 - равновесное расстояние между молекулами, а U0 - глубина потенциальной ямы.

Рис.1-2 Межмолекулярный потенциал Леннарда-Джонса.

Попытайтесь исследовать физические свойства молекулярного кристалла, в котором межмолекулярное взаимодействие подчиняется этому закону. Для простоты считайте кристаллическую решетку кубической. В частности:

1. Докажите, что минимум потенциальной энергии в самом деле достигается при r = r0 и равен U(r = r0) = - U0.

2. Считая, что поперечное сечение образца не меняется при его удлинении, получите выражение для модуля Юнга в приближении малых растяжений: E = 72 U0 / r03. Для этого свяжите жесткость межмолекулярной связи со второй производной потенциальной энергии. Заметьте, что этот ответ существенно больше нашей простой оценки E ~ U0 / r03.

3. Найдите прочность кристалла на разрыв (sB » 2.69 U0 / r03). Заметьте, что хотя sB приблизительно в 27 раз меньше модуля Юнга, полученная прочность на разрыв все равно ощутимо больше нашей оценки sB ~ 0.1 U0 / r03.

4. Найдите максимальное растяжение (максимальное относительное удлинение), которое выдержит такой кристалл (» 11%). Это, кстати, означает, что межмолекулярное взаимодействие в более эластичных материалах заведомо не описывается этой формулой.

5. Попытайтесь получить ответ для максимального сдвигового напряжения.

Потенциалы типа Леннарда-Джонса, конечно же, годятся не для всех кристаллов. Однако цель этого упражнения состоит вовсе не в классификации всех возможных типов межатомных и межмолекулярных связей. Главное - это почувствовать "своими руками", как из микроскопической модели можно вывести какие-то свойства кристалла как целого.

Наконец, для иллюстрации приведем экспериментальные значения модуля Юнга E, модуля сдвига G и прочности на разрыв sB некоторых материалов.

Таблица 1-1. Упругие характеристики некоторых материалов.
материал
сталь
латунь
свинец
алмаз
E, ГПа
200
110
14 - 18
800 - 1000
G, ГПа
80
-
5,5 - 8
-
sB, ГПа
0,3 - 1,5
0,3 - 0,7
0,014 - 0,018
0,25 - 0,5

Кстати, заметьте, насколько сильно отличается полученная нами теоретическая прочность кристаллов на разрыв от реальной. В нашем модельном расчете мы получили, что sB в 27 раз меньше, чем модуль Юнга. В реальности же, как мы видим из Таблицы 1-1, прочность на разрыв составляет лишь тысячные доли модуля Юнга. Причина этого - несовершенство кристаллической решетки, наличие в ней разнообразных дефектов, из-за которых приложенное напряжение распределяется по поперечной площади кристалла очень неравномерно.


Оглавление




vlad@ssl.nsu.ru