Современная физика в задачах
(факультативный курс)

И. П. Иванов


Часть 1. Строение и свойства твердых тел


Задача 2. Поверхностная энергия кристалла

Вводная: Как известно, у жидкостей есть такое свойство как поверхностное натяжение. Это, грубо говоря, сила, которая старается уменьшить свободную поверхность жидкости. Действительно, на атомы, расположенные у поверхности, действует нескомпенсированная сила, которая стремится вернуть атом в толщу материала (Рис.2-1а). Это же можно сказать и по-иному, на языке энергии: поскольку приповерхностные атомы обладают повышенной энергией по сравнению с атомами в толще жидкости, то возникают силы, старающиеся уменьшить количество таких атомов. Поскольку кристалл также состоит из атомов, нет ничего удивительного в том, что и у него есть поверхностная энергия. Энергия, которую кристалл (будучи предоставленным самому себе) "старается" уменьшить.


Рис.2-1 Свободная поверхность жидкости и кристалла.

Однако между поверхностной энергией жидкости и кристалла есть разница. В жидкости поверхностная энергия прямо пропорциональна площади свободной поверхности: E = sS. Поэтому жидкость, в отсутствии внешних сил, минимизирует свою свободную поверхность, то есть принимает форму шара.

А вот в случае кристалла оказывается, что поверхностная энергия вовсе не пропорциональна площади поверхности кристалла! Более того, кристалл может уменьшать поверхностную энергию за счет увеличения площади! Разберемся, как такое может быть.

Постановка задачи: рассмотрим два монокристалла поваренной соли одинакового объема. Один из них имеет естественную кубическую форму, а второй огранен в форме шара. В каком случае поверхностная энергия меньше и во сколько раз?

Решение: Каково происхождение поверхностной энергии кристалла на атомарном уровне? Она возникает из-за того, что у пограничного атома задействованы не все связи, часть из них "торчит в пустоту" (см. Рис.2-1б). Поэтому, чтобы найти поверхностную энергию кристалла, надо просто сосчитать число пустующих связей.


Рис.2-2. К подсчету свободных связей кристалла.

Количество пустующих связей, "глядящих" в данном направлении (то есть, для кубической решетки - в направлении оси x,y или z) есть удвоенное число атомных рядов, идущих в этом направлении. Действительно, в ограниченном кристалле любой атомный ряд должен где-то начинаться и где-то заканчиваться. Для выпуклых тел количество рядов легко сосчитать так: оно равно площади контура тела, деленной на квадрат межатомного расстояния (Рис.2-2):

Nx = Sx/a2; Ny = Sy/a2; Nz=Sz/a2.

Поэтому поверхностная энергия выпуклого тела есть Uпов = const(Sx + Sy + Sz).

Итак, мы видим, что определяющее значение имеет не физическая площадь поверхности тела, а как бы площадь тени, которую тело отбрасывает в трех направлениях.

Нам осталось только подставить числа. Пусть ребро кубического кристалла равно L. Тогда для куба получаем Sx + Sy + Sz = 3L2. Радиус шара, обладающего объемом L3, есть R = L(3/4p)1/3. То есть, для шара Sx + Sy + Sz = 3pL2(3/4p)2/3 = 3L2(9p/16)1/3. Следовательно, поверхностная энергия куба меньше в (9p/16)1/3 » 1,21 раз.

Послесловие: Вывод: всякое тело стремится принять свою естественную форму, и эта естественная форма отражает микроскопическое строение тела. То, что кристалл тоже "хочет" принять форму элементарной ячейки составляющей его решетки, можно даже наблюдать на опыте. Если взять монокристалл поваренной соли, ограненный в форме шара, и положить его на некоторое время в печь, то на его поверхности начнут проступать ребра куба: при высокой температуре подвижность ионов резко возрастает, и кристалл постепенно начинает перестраиваться.


Оглавление




vlad@ssl.nsu.ru