Современная физика в задачах
(факультативный курс)

И. П. Иванов


Часть 1. Строение и свойства твердых тел


Задача 3. Двумерные кристаллические решетки

Вводная: почему существует так много типов кристаллических решеток? Казалось бы, все атомы более-менее одинаковы, а решетки бывают такие разнообразные! Конечно, главная причина этого разнообразия - это различные конфигурациям электронных облаков валентных электронов. Но ведь бывает и так, что атомы одного и того же вещества могут, в зависимости от температуры и давления, выстраиваться в различные кристаллические решетки?! И это - скорее правило, чем исключение для большинства веществ, образующих кристаллические твердые тела.

Эта задача - пример того, как абсолютно круглые атомы могут образовывать разные кристаллические решетки. Просто в том или ином случае оказывается энергетически выгодна та или иная упаковка атомов.

Постановка задачи: рассмотрим двумерный кристалл, состоящий из круглых атомов. Предположим, что потенциал межатомного взаимодействия как функция расстояния между центрами атомов имеет упрощенный вид, показанный на Рис.3-1. Здесь a и b - некоторые параметры. Какова будет кристаллическая решетка вещества при нулевой температуре?


Рис.3-1. Модель межатомного потенциала для задачи 3.

Решение: Давайте взглянем на форму потенциала. Бесконечно большая потенциальная энергия при r < a означает просто, что атомы не могут сблизиться на расстояние меньшее, чем a. То есть, они ведут себя как твердые круглые шарики. Идем далее. Нулевая температура означает, что атомы не движутся - значит кристалл находится в состоянии с минимально возможной энергией. Поскольку каждая пара взаимодействующих атомов дополнительно понижает энергию всего кристалла, то минимум энергии всего кристалла достигается, когда каждый атом чувствует как можно больше соседей. Причем при заданном, конкретном отношении b/a.


Рис.3-2. Расположение атомов в гексагональной (а) и в квадратной (б) двумерных кристаллических решетках.

На первый взгляд это означает, что нам надо найти наиболее плотную упаковку атомов, а ответ на этот вопрос известен: самой плотной двумерной упаковкой одинаковых круглых объектов является шестиугольная (гексагональная) упаковка, Рис.3-2а. Здесь кружочками обозначены центры атомов; расстояние между ближайшими кружочками, как мы знаем, равно a. Однако нет, это на самом деле не одно и то же: самая плотная упаковка не всегда энергетически выгодна! Действительно, рассмотрим "конкурирующую" квадратную упаковку атомов, Рис.3-2б. Предположим, что параметр b лежит в пределах от a1/2 до a1/3. Тогда нетрудно сосчитать, что в шестиугольной упаковке каждый атом чувствует только 6 соседей, в то время как в квадратной - 8. То есть, квадратная упаковка оказывается более выгодной, и потому вещество при кристаллизации примет форму квадратной решетки.

Итак, из этого примера ясно, что задача сводится фактически к подсчету, при данном отношении b/a, количества соседей, чувствуемых одним атомом в той или иной кристаллической решетке. На данный момент ограничимся только двумя типами решеток: гексагональной и квадратной. Аккуратный подсчет количества "чувствуемых" атомов, в зависимости от того, в каких пределах лежит параметр b/a, приведен в Таблице 3-1.

Таблица 3-1. Количество чувствуемых атомов в зависимости от параметра b/a для гексагональной и квадратной решеток.

Гексагональная решетка
b/a
(1, 31/2)
(31/2, 2)
(2, 71/2)
(71/2, 3)
(3, 121/2)
(121/2, 131/2)
(131/2, 4)
(4, 191/2)
(191/2, 211/2)
N(b/a)
6
12
18
30
36
42
54
60
72

Квадратная решетка
b/a
(1, 21/2)
(21/2, 2)
(2, 51/2)
(51/2, 81/2)
(81/2, 3)
(3, 101/2)
(101/2, 131/2)
(131/2, 4)
(4, 171/2)
(171/2, 181/2)
N(b/a)
4
8
12
20
24
28
36
44
48
52

Здесь мы привели, разумеется, не всю таблицу (она была бы бесконечной), а лишь ее начало, то есть числа чувствуемых атомов при небольших значениях параметра b/a. Дело в том, что, как видно из Таблицы 3-1, при больших значениях параметра b/a каждый атом в гексагональной решетке чувствует уже гораздо больше соседей, чем в квадратной. К примеру, когда b/a переваливает за 4, в гексагональной решетке каждый атом взаимодействует с 60 соседями, в то время как в квадратной - только с 48. Читатель может убедиться, что такая тенденция сохранится и дальше. Это и неудивительно: в пределе больших значений b/a плотность упаковки начинает играть главную роль, и количество чувствуемых атомов можно приблизительно сосчитать как произведение плотности атомной упаковки на площадь "круга влияния" pb2.

При малых значениях b/a все не так тривиально. Здесь нам уже надо напрямую сравнивать количество чувствуемых атомов для каждого типа решетки при данном значении b/a и выяснять, какая из них более выгодна. Это сравнение показывает, что в зависимости от отношения b/a энергетически более выгодной окажется следующая решетка (см. Таблицу 3-2):

Таблица 3-2. Наиболее выгодная решетка в зависимости от отношения b/a (случай двух конкурирующих решеток).

b/a
(1, 21/2)
(21/2, 31/2)
(31/2, 51/2)
(51/2, 71/2)
(71/2, 101/2)
(101/2, 121/2)
>121/2
Решетка
Гекс.
Квадр.
Гекс.
Квадр.
Гекс.
Обе
Гекс.

Может возникнуть подозрение, что существуют и другие, более хитрые кристаллические решетки, которые при некоторых значениях b/a будут более выгодны, чем простая гексагональная или квадратная решетка. Это подозрение, оказывается, верно! Пример такой решетки приведен на Рис3-3.


Рис.3-3. "Смешанная" упаковка атомов.

Эта решетка как бы наполовину квадратная, наполовину гексагональная. Подсчет "чувствуемых" атомов, аналогичный проведенному выше, читатель уже может сделать самостоятельно. В результате получается, что в зависимости от отношения b/a энергетически выгодными могут быть все три типа решеток (см. Таблицу 3-3.)

Таблица 3-3. Наиболее выгодная решетка в зависимости от отношения b/a.
b/a (точно)
b/a (численно)
решетка
1 - 21/2
1.000 - 1.414
гексагональная
21/2 - 31/2
1.414 - 1.732
квадратная
31/2 - (2 + 31/2)1/2
1.732 - 1.932
гексагональная
(2 + 31/2)1/2 + 2
1.932 - 2.000
смешанная
2 - 51/2
2.000 - 2.236
гексагональная
51/2 - (4 + 31/2)1/2
2.236 - 2.394
квадратная
(4 + 31/2)1/2 - 71/2
2.394 - 2.646
смешанная
71/2 - 101/2
2.646 - 3.162
гексагональная
101/2 - (7 + 2.31/2)1/2
3.162 - 3.235
все три типа
(7 + 2.31/2)1/2 - 121/2
3.235 - 3.464
смешанная
121/2 - 131/2
3.464 - 3.606
гексагональная/смешанная
> 131/2
> 3.606
гексагональная

Послесловие: Подчеркнем еще раз, что реально все многообразие решеток происходит, прежде всего, из-за нетривиальной формы электронных облаков. Однако - как мы выяснили - даже если бы атомы были абсолютно круглыми, все равно решетки могли бы быть разными. Желающие могут попытаться решить аналогичную задачу для трехмерного случая: количество конкурирующих решеток только возрастет.

Несколько слов о реалистичности потенциала. Вообще-то он не очень хорош. В нем отсутствует четкий минимум, а значит, отсутствуют и такие присущие кристаллу явления, как тепловое расширение, упругость, и т.д. В целом, потенциал, изображенный на Рис.3-1, конечно, не годится в качестве реалистичной модели межатомного взаимодействия. Однако для сути нашей задачи конкретная форма потенциала не существенна: ведь весь эффект - это сколько атомов чувствует каждый атом. Если бы мы взяли более правдоподобную кривую потенциала - это привело бы лишь к излишним усложнениям.

Интересно заметить, что в реальных кристаллах отношение b/a не может быть слишком большим, максимум порядка 2. Атом не может полноценно чувствовать другой атом, если между ними есть третий. Однако под словом "кристалл" можно понимать любую систему (не обязательно систему атомов), в которой отдельные элементы выстраиваются в правильную решетку. Это могут быть, например, вихри, заключенные в ограниченный объем, расталкивающиеся коллоидные частицы на поверхности жидкости и многие другие системы. Главное, чтобы отдельные физические объекты "чувствовали" друг друга, чтобы система вела себя как целое, а не разваливалась на части.

Может возникнуть вопрос: вот мы получили несколько типов решеток. А можно ли наблюдать, как система переходит из одной решетки в другую? В рамках нашей задачи ответ на этот вопрос не получишь. Ведь для того, чтобы наблюдать перестройку кристаллической решетки, нужно "насильственно" изменить отношение b/a, а в нашей задаче оно для каждого материала фиксировано. Вот если бы мы взяли потенциал вида Рис.1-2, то мы бы смогли наблюдать красивое явление - фазовый переход вещества из одного кристаллического состояния в другое под действием внешнего давления. В самом деле, внешнее давление будет сжимать кристалл, плотность упаковки атомов возрастает, то есть эффективный параметр a - уменьшается. С другой стороны, эффективный параметр b - то есть радиус чувствуемой области - сохраняется. Таким образом, с ростом внешнего давления будет расти и отношение b/a, а значит, в какой-то момент более выгодной окажется какая-то другая решетка, и система начнет перестраиваться.

Мы не будем здесь пытаться провести аккуратный расчет с реалистическими потенциалами и вывести аналитически, при каком давлении решетка будет перестраиваться. Слишком уж усложняется при этом математика явления (впрочем, желающие могут рискнуть проделать такой анализ самостоятельно). Но вот запустить численное моделирование этого процесса на компьютере и посмотреть своими глазами, что будет происходить с веществом в тех или иных условиях, было бы, по-видимому, нетрудно, но крайне интересно.


Оглавление




vlad@ssl.nsu.ru