Современная физика в задачах
(факультативный курс)

И. П. Иванов


Часть 1. Строение и свойства твердых тел


Задача 4. Бинарный сплав.

Вводная: рассмотрим бинарный сплав, т.е. вещество, состоящее из атомов типа A и В. Будем считать, что это монокристалл. Как он может выглядеть? Как именно атомы типа A и В "рассядутся" в кристалле? Одна из часто встречающихся структур бинарных сплавов - две кубические подрешетки, как бы вложенные друг в друга. На Рис.4-1 показано, как выглядит вложение элементарных ячеек двух таких подрешеток: в центре каждого "кубика" подрешетки 1 находится атом подрешетки 2 и наоборот.


Рис. 4-1. Две вложенные друг в друга кубические подрешетки.

Может оказаться так, что в подрешетке 1 находятся исключительно атомы типа A, в подрешетке 2 - только атомы типа В. Может, однако, быть и так, что каждая из подрешеток будет поровну заполнена атомами каждого типа. Причем здесь есть два варианта: либо атомы разных типов "перемешаны" в каждой из подрешеток, либо пространственно разделены: то есть в одной половине кристалла находятся атомы типа A, а в другой - атомы типа В. Может, наконец, реализоваться и какой-либо промежуточный вариант. Итак, что же выберет кристалл?

Давайте здесь опять исходить из энергетических соображений, аналогичных тем, которые мы использовали в предыдущей задаче. Пусть кристалл находится при нулевой температуре. Все будет определяться энергией взаимодействия атомов одной и разных сортов. Интуитивно ясно, что если связь АВ сильна, то компонентам бинарного сплава энергетически выгоднее будет перемешаться; если эта связь будет слабой, то выгоднее будет полное разделение компонентов. Попытаемся решить эту задачу количественно.

Постановка задачи: Итак, даны две кубические подрешетки, 1 и 2. Каждая из них содержит по N узлов. Имеются атомы сорта A и B, по N атомов каждого сорта. Известно, что каждый атом взаимодействует только с ближайшими 8 соседями (то есть, каждый атом в подрешетки 1 взаимодействует с 8 ближайшими атомами из подрешетки 2 и наоборот, см. Рис.4-1). Потенциальная энергия связей АА, BB и AB равна UAA, UBB и UAB соответственно. Вопрос: произойдет разделение фаз или нет?

Решение: Давайте обозначим количество атомов A в первой подрешетке через NA1, а во второй подрешетке - через NA2. Аналогичные числа для атомов типа B составляют NB1 и NB1. Очевидно, должны выполняться следующие соотношения:

NA1 + NA2 = N; NB1 + NB2 = N; NA1 + NB1 = N; NA2 + NB2 = N.

Из этих соотношений следует, что на самом деле у нас есть всего лишь одна независимая переменная. В качестве этой новой переменной удобно ввести так называемый параметр порядка x = (NA1 - NB1)/N, где x принадлежит промежутку [-1,1].

Тогда введенные выше числа атомов будут выражаться через параметр порядка следующим образом:

NA1 = N(1 + x)/2; NA2 = N(1 - x)/2; NB1 = N(1 - x)/2; NB2 = N(1 + x)/2.

Смысл параметра порядка ясен: если x = 0, значит в каждой подрешетке поровну атомов обоих сортов, если |x| = 1, то все атомы одного типа "свалились" в одну подрешетку.

Рассмотрим теперь какой-нибудь атом типа A, сидящий в одном из узлов первой подрешетки (таких атомов, как мы знаем N(1 + x)/2 штук). У него есть 8 соседей, из которых в среднем 8(1 - x)/2 атомов типа A и 8(1 + x)/2 атомов типа B. Поэтому потенциальная энергия взаимодействия выбранного атома с атомами второй подрешетки составляет 4(1 - x)UAA + 4(1 + x)UAB.

Рассмотрим теперь атом типа B, сидящий с первой подрешетке (таких атомов N(1 - x)/2 штук). Потенциальная энергия его взаимодействия с соседями равна 4(1 - x)UAB + 4(1 + x)UBB. Таким образом, полная потенциальная энергия взаимодействия двух подрешеток (полная энергия кристалла) есть:

Uполн = ((1 + x)/2)[4(1 - x)UAA + 4(1 + x)UAB] + ((1 - x)/2)[4(1 - x)UAB + 4(1 + x)UBB] =
= 4N[(UAA + UBB + 2UAB) - x2(UAA + UBB - 2UAB)].

Поскольку при нулевой температуре система будет находиться в состоянии с минимальной энергией, нам нужно найти, при каком значении x достигается минимум этого выражения (не забывайте, что UAA, UBB и UAB - величины отрицательные!). Ответ становится очевидным, если построить график зависимости Uполн от x (см. Рис.4-2). При UAA + UBB - 2UAB > 0 (т.е. когда |UAB| > (|UAA| + |UBB|)/2) минимум достигается при x = +-1. Если же |UAB| < (|UAA| + |UBB|)/2, то минимум достигается при x = 0.


Рис. 4-2. Зависимость потенциальной энергии кристалла от параметра порядка:
(а) в случае |UAB| > (|UAA| + |UBB|)/2,
(б) в случае |UAB| < (|UAA| + |UBB|)/2.

Этот ответ полностью совпадает с нашими ожиданиями: когда связь АВ сильна (|UAB| велика), атомам выгоднее иметь соседей противоположного сорта, то есть все атомы одного сорта свалятся в одну подрешетку.

Послесловие: в нашей задаче опять очень существенным упрощением была нулевая температура. При конечной, ненулевой температуре система вовсе не будет находиться в состоянии с минимально возможной энергией. В ней на какое-то время будут возникать метастабильные структуры с "невыгодной" энергией, т.е. попросту говоря, в системе начнут появляться флуктуации. И причем, чем выше температура, тем легче и чаще будут появляться энергетически невыгодные структуры. То есть - на языке параметра порядка - при |UAB| > (|UAA| + |UBB|)/2 значение параметра порядка будет несколько меньше 1, поскольку какая-то доля атомов будет находиться в энергетически невыгодной подрешетке. Вид потенциальной энергии кристалла как функции параметра порядка при все более высоких температурах показан схематично на Рис.4-3.


Рис.4-3. Потенциальная энергия бинарного сплава как функция параметра порядка при разных температурах.

На этом рисунке черный шарик указывает положение минимума потенциальной энергии. Видно, что с ростом температуры значение |x| падает, и при некоторой температуре одно достигнет нуля: в системе исчезнет порядок, произойдет фазовый переход в полностью неупорядоченное состояние. В этом случае параметр порядка полностью оправдывает свое название: выше точки перехода компоненты бинарного сплава не будут пространственно разделены, а будут хаотично перемешаны по всему кристаллу.


Оглавление




vlad@ssl.nsu.ru