Современная физика в задачах
(факультативный курс)

И. П. Иванов


Часть 1. Строение и свойства твердых тел


Задача 5. Прочность нанотрубок

Вводная: Для начала - небольшая лекция, вводящая читателя в курс дела.

Многие из перспективных направлений в материаловедении, нанотехнологии, наноэлектронике, прикладной химии связываются в последнее время с фуллеренами, нанотрубками и другими похожими структурами, которые можно назвать общим термином углеродные каркасные структуры. Что же это такое?

Углеродные каркасные структуры - это большие (а иногда и гигантские!) молекулы, состоящие исключительно из атомов углерода. Можно даже говорить, что углеродные каркасные структуры - это новая аллотропная форма углерода (в дополнение к давно известным: алмазу и графиту). Главная особенность этих молекул - это их каркасная форма: они выглядят как замкнутые, пустые внутри "оболочки". Самая знаменитая из углеродных каркасных структур - это фуллерен C60 (Рис.5-1а), абсолютно неожиданное открытие которого в 1985 году вызвало целый бум исследований в этой области (Нобелевская премия по химии за 1996 год была присуждена именно первооткрывателям фуллеренов Роберту Керлу, Гарольду Крото и Ричарду Смалли). В конце 80-х, начале 90-х годов, после того как была разработана методика получения фуллеренов в макроскопических количествах, было обнаружено множество других, как более легких, так и более тяжелых фуллеренов: начиная от синтезированного только недавно C20 (минимально возможного из фуллеренов) и до C70, C82, C96, и выше (некоторые из них показаны на Рис.5-1).


Рис.5-1. Некоторые представители семейства фуллеренов: (а) С60, (b) С70, (c) С80.

Однако разнообразие углеродных каркасных структур на этом не заканчивается. В 1991 году, опять-таки совершенно неожиданно, были обнаружены длинные, цилиндрические углеродные образования, получившие названия нанотрубок (Рис.5-2). Визуально, структуру таких нанотрубок можно представить себе так: берем графитовую плоскость, вырезаем из нее полоску и "склеиваем" ее в цилиндр (предостережение: такое сворачивание графитовой плоскости - это лишь способ представить себе структуру нанотрубки; реально нанотрубки растут совсем по-другому). Казалось бы, что проще - берешь графитовую плоскость и сворачиваешь в цилиндр! - однако до экспериментального открытия нанотрубок никто из теоретиков их не предсказывал! Так что ученым оставалось только изучать их - и удивляться!


Рис.5-2. Углеродные нанотрубки: две прямых и одна спиральная.

А удивительного было много. Во-первых, разнообразие форм: нанотрубки могли быть большие и маленькие, однослойные и многослойные, прямые (Рис.5-2а, б) и спиральные (Рис.5-2в). Во-вторых, несмотря на кажущуюся хрупкость и даже ажурность, нанотрубки оказались на редкость прочным материалом, как на растяжение, так и на изгиб. Более того, под действием механических напряжений, превышающих критические, нанотрубки также ведут себя экстравагантно: они не "рвутся" и не "ломаются", а просто-напросто перестраиваются! Далее, нанотрубки демонстрируют целый спектр самых неожиданных электрических, магнитных, оптических свойств. Например, в зависимости от конкретной схемы сворачивания графитовой плоскости, нанотрубки могут быть и проводниками, и полупроводниками! Может ли какой-либо иной материал с таким простым химическим составом похвастаться хотя бы частью тех свойств, которыми обладают нанотрубки?!

Наконец, поражает разнообразие применений, которые уже придуманы для нанотрубок. Первое, что напрашивается само собой, это применение нанотрубок в качестве очень прочных микроскопических стержней и нитей. Как показывают результаты экспериментов и численного моделирования, модуль Юнга однослойной нанотрубки достигает величин порядка 1-5 ТПа, что на порядок больше, чем у стали! Правда, в настоящее время максимальная длина нанотрубок составляет десятки и сотни микронов - что, конечно, очень велико по атомным масштабам, но слишком мало для повседневного использования. Однако длина нанотрубок, получаемых в лаборатории, постепенно увеличивается - сейчас ученые уже вплотную подошли к миллиметровому рубежу. Поэтому есть все основания надеяться, что в скором будущем ученые научатся выращивать нанотрубки длиной в сантиметры и даже метры! Безусловно, это сильно повлияет на будущие технологии: ведь "трос" толщиной с человеческий волос, способный удерживать груз в сотни килограмм, найдет себе бесчисленное множество применений.

Нанотрубки могут выступать не только в роли исследуемого материала, но и как инструмент исследования. На основе нанотрубки можно, к примеру, создать микроскопические весы. Берем нанотрубку, определяем (спектроскопическими методами) частоту ее собственных колебаний, затем прикрепляем к ней исследуемый образец и определяем частоту колебаний нагруженной нанотрубки. Эта частота будет меньше частоты колебаний свободной нанотрубки: ведь масса системы увеличилась, а жесткость осталась прежней (вспомните формулу для частоты колебаний груза на пружинке). В результате по сдвигу частоты можно определить массу груза.

Другой пример, когда нанотрубка является частью физического прибора - это "насаживание" ее на острие сканирующего туннельного или атомного силового микроскопа. Обычно такое острие представляет собой остро заточенную вольфрамовую иглу, но по атомным меркам такая заточка все равно достаточно грубая. Нанотрубка же представляет собой идеальную иглу диаметром порядка нескольких атомов. Прикладывая определенное напряжение, можно подхватывать атомы и целые молекулы, находящиеся на подложке непосредственно под иглой, и переносить их с места на место.

Необычные электрические свойства нанотрубок сделают их одним из основных материалов наноэлектроники. Уже сейчас созданы опытные образцы полевых транзисторов на основе одной нанотрубки: прикладывая запирающее напряжение нескольких вольт, ученые научились изменять проводимость однослойных нанотрубок на 5 порядков!

Еще одно применение в наноэлектронике - создание полупроводниковых гетероструктур, т.е. структур типа металл/полупроводник или стык двух разных полупроводников. Теперь для изготовления такой гетероструктуры не надо будет выращивать отдельно два материала и затем "сваривать" их друг с другом. Все, что требуется, это в процессе роста нанотрубки создать в ней структурный дефект (а именно, заменить один из углеродных шестиугольников пятиугольником). Тогда одна часть нанотрубки будет металлической, а другая - полупроводником!

Разработано уже и несколько применений нанотрубок в компьютерной индустрии. Например, созданы и опробованы прототипы тонких плоских дисплеев, работающих на матрице из нанотрубок. Под действием напряжения, прикладываемого к одному из концов нанотрубки, с другого конца начинают испускаться электроны, которые попадают на фосфоресцирующий экран и вызывают свечение пикселя. С помощью того же атомного микроскопа можно производить запись и считывание информации с матрицы, состоящей из атомов титана, лежащих на корундовой подложке. Эта идея уже также реализована экспериментально: достигнутая плотность записи информации составляла 250 Гбит/см2. Однако в обоих этих примерах до массового применения пока далеко - слишком уж дорого обходятся такие наукоемкие новшества. Поэтому одна из самых главных задач здесь - разработать дешевую методику реализации этих идей.

Далее, целый класс применений нанотрубок связан с использованием ее как микроконтейнера. Как показали эксперименты, открытая нанотрубка обладает капиллярными свойствами, то есть она как бы втягивает в себя вещество. Таким образом, нанотрубки можно использовать как микроскопические контейнеры для перевозки химически или биологически активных веществ: белков, ядовитых газов, компонентов топлива и даже расплавленных металлов. Попав внутрь нанотрубки, атомы или молекулы уже не могут выйти наружу: концы нанотрубок надежно "запаяны", а углеродное ароматическое кольцо слишком узкое для большинства атомов. В таком виде активные атомы или молекулы можно безопасно транспортировать. Попав в место назначения, нанотрубки раскрываются с одного конца (а операции "запаивания" и "распаивания" концов нанотрубок уже вполне под силу современной технологии) и выпускают свое содержимое в строго определенных дозах. Это - не фантастика, эксперименты такого рода уже сейчас проводятся во многих лабораториях мира. И не исключено, что через 10-20 лет на базе этой технологии будет проводиться лечение заболеваний: скажем, больному вводят в кровь заранее приготовленные нанотрубки с очень активными ферментами, эти нанотрубки собираются в определенном месте организма некими микроскопическими механизмами и "вскрываются" в определенный момент времени. Современная технология уже практически готова к реализации такой схемы.

Перечисление возможных применений нанотрубок может продолжаться и продолжаться, но... пора остановиться и, наконец, перейти непосредственно к задаче. В этой задаче мы будем изучать механические свойства нанотрубок, а именно прочность нанотрубок на растяжение. Для четкой постановки задачи давайте сфокусируем внимание только на двух типах нанотрубок, изображенных на Рис.5-2а и 5-2б.

Представьте себе, что вы - физик-теоретик, работающий в Отделе Прогрессивных Технологий фирмы IBM. Ваш отдел разрабатывает методику применения нанотрубок в качестве сверхпрочных стержней для некоторых нано-устройств. Вам сообщили, что ученые-экспериментаторы наконец-то научились получать нанотрубки в значительных количествах, причем они могут получать прямые трубки обоих типов (Рис.5-2а и 5-2б). Компания заинтересована, естественно, в максимально прочных нанотрубках, и поэтому возникает вопрос: нанотрубки какого типа обладают наибольшим модулем Юнга? Именно с этим вопросом экспериментаторы и обратились к вам, надеясь, что ваши теоретические расчеты подскажут, в каком направлении дальше двигаться.

Итак, постановка задачи: какая из двух типов нанотрубок будет обладать большей прочностью при одинаковых геометрических размерах?


Рис.5-3. Участок графитовой плоскости и координаты на ней.

Решение: Нанотрубки типа Рис.5-2а и Рис.5-2б, условно говоря, получаются из графитовой плоскости (Рис.5-3) путем сворачивания ее в направлении оси x или y соответственно (Рис.5-4). Поэтому для того, чтобы ответить на вопрос задачи, надо выяснить, в каком направлении жесткость графитовой плоскости (то есть, сопротивление растяжению) больше.


Рис.5-4. Образование нанотрубок путем сворачивания графитовой плоскости.

Для решения задачи давайте построим модель нанотрубки, а точнее модель графитовой плоскости, которую мы затем будем сворачивать в нанотрубку. Расчет прочности решетки с учетом реалистичного межатомного потенциала нам, конечно, не под силу, но этого нам вовсе и не требуется. Нам достаточно понимать, что при небольших силах растяжения каждая межатомная связь ведет себя как микро-пружинка со вполне определенной жесткостью k0. Итак, заменив углеродную атомную решетку на решетку из одинаковых пружинок, мы получаем довольно простую - а главное, точно решаемую! - механистическую модель.

Пусть теперь у нас есть две нанотрубки одинакового радиуса R и одинаковой длины L, но только одна из них типа Рис.5-2а (т.е. получается путем сворачивания графитовой плоскости вдоль оси x, см. Рис.5-4а), а другая - типа Рис.5-2б (т.е. получается путем сворачивания графитовой плоскости вдоль оси y, см. Рис.5-4б). Требуется найти и сравнить жесткость этих двух нанотрубок.

Прежде, чем браться за эту задачу, решим пару простых вспомогательных задач. Сначала вспомним, чему равна суммарная жесткость последовательного (Рис.5-5а) и параллельного (Рис.5-5б) соединения двух пружинок с жесткостями k1 и k2.

kпосл = k1k2/(k1 + k2); kпаралл = k1 + k2.
(Постарайтесь получить эти ответы самостоятельно.)


Рис.5-5. Последовательное и параллельное соединение пружинок.

Это "правило сложения пружинок", в частности, означает, что последовательное соединение N пружинок жесткости k0 будет обладать жесткостью k0/N, а N пружинок, соединенных параллельно, образуют систему с жесткостью Nk0.

Теперь решим другую вспомогательную задачу. Две бусинки нанизаны на гладкие спицы и соединены пружинкой все той же жесткости k0. Пружинка расположена под углом a к спицам и вначале не растянута (Рис.5-6). Если мы начнем тянуть бусинки, как это показано на рисунке, то чему будет равна ощущаемая жесткость системы? Будем решать эту задачу стандартным способом: растянем бусинки на некоторое малое расстояние Dx и найдем возвращающую силу (естественно, вдоль направления перемещения). Если зафиксировать одну бусинку, а другую сместить на расстояние Dx, то удлинение пружинки будет равно Dxcosa. Возникшая при этом сила будет равна F = k0Dxcosa, а проекция этой силы на направление движения F = k0Dxcos2a. Таким образом, ощущаемая жесткость "наклонной" пружинки составляет

k = F/Dx = k0cos2a.



Рис.5-6. К вычислению эффективной жесткости пружинки, расположенной под углом.

Теперь мы готовы к решению исходной задачи. Рассмотрим решетку, свернутую в направлении оси x. Для начала заметим, что всю нашу решетку мы можем разбить на одинаковые "полоски", каждая из которых составлена их одинаковых трехлучевых звеньев (Рис.5-7). С помощью уже разобранных вспомогательных задач можно подсчитать, что жесткость одного такого звена (растягиваемого в направлении оси y) составляет 3k0/8. Далее, если длина нанотрубки равна L, а длина каждой связи в графитовой решетке равна a, то в каждой полоске содержится L/(31/2a) звеньев, а значит, жесткость всей полоски равна (3k0/8)(31/2a/L). Далее, если радиус нанотрубки равен R, то вся нанотрубка состоит из 2pR/(3a/2) вертикальных полосок. Итого, мы получаем, что жесткость всей нанотрубки равняется

k1 = (2pR/L)k031/2/4.



Рис.5-7. Условное разбиение графитовой поверхности на полоски и звенья.

Теперь тот же самый подход применим к нанотрубке, полученной сворачиванием решетки в направлении оси y. Опять условно разбиваем всю нанотрубку на полоски, теперь уже горизонтальные, опоясывающие трубку, и замечаем, что каждая полоска состоит из тех же самых звеньев. Единственное отличие состоит в том, что теперь эти звенья растягиваются уже в направлении оси x. Нетрудно найти, что жесткость одного звена в этом направлении равна k0/3. Далее, в такой нанотрубке длины L и радиуса R имеется L/(3a/2) кольцевых полосок, а в каждой полоске - по 2pR/(31/2a) звеньев. Таким образом, полная жесткость всей нанотрубки, свернутой в направлении оси y (а значит, растягиваемой в направлении x), равняется

k2 = (2pR/L)k0(1/(2.31/2))

Сравнивая k1 и k2, получаем искомый результат:

k1 = (3/2)k2.

Итак, оказывается, что при одинаковых размерах, нанотрубка, полученная сворачиванием решетки в направлении оси x (нанотрубка типа Рис.5-2а), оказывается прочнее.

Послесловие: Хочется в заключение сказать несколько слов о характере этой задачи. Вы видите, что для ответа на простой и четкий вопрос потребовался довольно длинный, многоступенчатый анализ. Такая ситуация очень характерна для настоящих современных научных расчетов. Часто для ответа на исходный вопрос ученому требуется решить несколько промежуточных задач, которые могут на первый взгляд даже и не иметь к изучаемому вопросу прямого отношения. В нашем случае два вспомогательных примера - это как бы кирпичики, из которых мы конструировали решение основной задачи. Почти всегда так же дело обстоит и в настоящей науке. Только кирпичиков там гораздо больше, и на построение всего "здания" часто требуются не минуты и часы, как в нашем случае, а дни, месяца, годы.

Наконец, отмечу и такой момент. Часто после решения основной задачи ученый вдруг понимает, что он уже может ответить и на целый ряд других вопросов. Так и мы - решая задачу, мы построили модель и научились ее обсчитывать. Так почему бы теперь нам не "выжать" из нее все физические следствия? Попытайтесь это сделать! Вот всего лишь несколько возможных вопросов для самостоятельного исследования:

  • Попытайтесь ответить на такой вопрос: а какие нанотрубки следует делать для получения максимально прочного нанотрубчатого вещества: узкие или широкие? Длинные или короткие? Как будет зависеть модуль Юнга идеального нанотрубчатого вещества от этих параметров? Нанотрубчатое вещество - это большое количество нанотрубок равной длины, плотно прижатых боком друг к другу.
  • Попытайтесь оценить, сколько будет весить 1 кубический сантиметр идеального нанотрубчатого вещества, прочность которого равна прочности стали (т.е. модуль Юнга равен E = 200 ГПа)?
  • Подумайте над таким вопросом: все вычисления мы производили над плоской графитовой решеткой, а ведь в нанотрубке графитовая решетка не плоская, а цилиндрическая. Как это повлияет на результаты?
  • В этой задаче мы рассмотрели только два типа сворачивания графитовой решетки в трубочку: вдоль осей y и x (Рис.5-2а и 5-2б). Реально же графитовую плоскость можно свернуть и под разнообразными другими углами (см. Рис.5-2в). Попытайтесь сосчитать прочность такой нанотрубки. Может быть, есть еще более выгодный способ сворачивать графитовую плоскость для получения наиболее прочных трубок?
  • В этой задаче мы исследовали прочность нанотрубок на растяжение. Попытайтесь самостоятельно изучить прочность нанотрубок на изгиб.


Оглавление




vlad@ssl.nsu.ru